$(0, 2\pi)$ માં $f(x) = \min \{ |\sin x|, |\cos x|, \frac{1}{4} \}$ ના અ-વિકલનીયતાના બિંદુઓની કુલ સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. વિધેય $f: R \rightarrow R$ ને $f(x) = \begin{cases} 2-2x^2-x^2 \sin \frac{1}{x} & \text{જો } x \neq 0 \\ 2 & \text{જો } x=0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય છે?

ધારો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=x-x^2+(x-1) \sin x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે અને $g: R \rightarrow R$ એ કોઈ પણ વિધેય છે. ધારો કે $f g: R \rightarrow R$ એ ગુણાકાર વિધેય છે જે $(f g)(x)=f(x) g(x)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ જો $g$ એ $x=1$ આગળ સતત હોય,તો $f g$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય છે
$(B)$ જો $fg$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $g$ એ $x=1$ આગળ સતત છે
$(C)$ જો $g$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $f g$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય છે
$(D)$ જો $fg$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $g$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય છે

જો $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 \ln \cos x}{\ln (1+x^2)} & , x \neq 0 \\ 0 & , x=0 \end{cases}$ હોય, તો $f(x)$ એ

ધારો કે $f(x) = \operatorname{Max}\{\cos x, \sin x, 0\}$. જો $(0, 2024 \pi)$ અંતરાલમાં $f(x)$ વિકલનીય ન હોય તેવા બિંદુઓની સંખ્યા $1012 k$ હોય,તો $k =$

ધારો કે $f$ એ $R$ થી $R$ પરનું વિકલનીય વિધેય છે,જેથી તમામ $x, y \in R$ માટે $|f(x) - f(y)| \le 2|x - y|^{\frac{3}{2}}$ થાય છે. જો $f(0) = 1$ હોય,તો $\int_{0}^{1} f^2(x) dx$ ની કિંમત શોધો.